If $cos heta+sin heta=m$ and $sec heta+operatorname{cosec} heta=n$, then what is the value of $frac{n}{2}left(m^{2}-1 ight) ?$

cosθ + sinθ = m

∴ m² – 1 = (cosθ + sinθ)² – 1

= cos²θ + sin²θ + 2cosθ. sinθ – 1

= 2 cosθ. sinθ

Again, $frac{n}{2}=frac{1}{2}(sec heta+operatorname{cosec} heta)$

$=frac{1}{2}left(frac{1}{cos heta}+frac{1}{sin heta} ight)=frac{sin heta+cos heta}{2 cos heta cdot sin heta}$

$herefore frac{n}{2}left(m^{2}-1 ight)=frac{sin heta+cos heta}{2 cos heta cdot sin heta} imes 2 cos heta cdot sin heta$

$=sin heta+cos heta=m .$