The value of $2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$ is

$2 \cos \frac{\pi}{13} \cos \frac{9 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}$

$+\cos \frac{5 \pi}{13}=\cos \left(\frac{\pi}{13}+\frac{9 \pi}{13}\right)+\cos \left(\frac{\pi}{13}-\frac{9 \pi}{13}\right)$

$+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$

$\because 2 \cos A \cos B=\cos (A+B)+\cos (A-B)$

$=\cos \frac{10 \pi}{13}+\cos \left(-\frac{8 \pi}{13}\right)+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$

$=\cos \frac{10 \pi}{13}+\cos \frac{8 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$

$\because \cos (-\theta)=\cos \theta$

$=\cos \left(\pi-\frac{3 \pi}{13}\right)+\cos \left(\pi-\frac{5 \pi}{13}\right)+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$

$=-\cos \frac{3 \pi}{13}-\cos \frac{5 \pi}{13}+\cos \frac{3 \pi}{13}+\cos \frac{5 \pi}{13}$

$=0$